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头条与历史

头条新闻层出不穷：某某 AI 系统解决了某某数学问题。而且我越来越常听到有人说：也许我们不再需要人来做数学研究了；也许我们应该把它全部交给越来越强大的 AI。

我必须承认，我对其中一些说法有点不耐烦了。因为在我看来，它们太频繁地涉及对数学真正是什么的根本误解——而且坦白说，也涉及对 AI 是什么的根本误解。

也许我有一段独特的个人经历可以说明这一点。毕竟，早在 1988 年，当我们首次推出Mathematica时，也有过一些类似的论调，说数学要被接管了，要变得毫无意义了。当然，事情根本不是那样发展的。相反，Mathematica（现在叫Wolfram Language）只是提升了所能做的数学的层次——并且多年来带来了各种重要的新数学。

如果算出符号积分就是人们认为的数学真正要做的事，那么，是的，Mathematica 基本上已经取代了它。但尽管那类问题求解是数学的许多应用所需要的，它并不是数学本身、在其纯粹形式下，的核心所在。

纯粹数学这项事业由来已久，与文明史紧密交织。从柏拉图和欧几里得的时代起，纯粹数学就是抽象、理性思维能够构建出越来越宏大结构的典范之地。而历经数个世纪，纯粹数学已成为我们文明所构建的最大单一智识大厦。

它并非没有自身的弊病和局限。即便在那些建造这座大厦的人当中，也会遇到关于什么重要、事情该如何做等等的误解。数学从根本上就是不惜一切手段地产生证明吗？数学最终总是由其应用来证明其正当性吗？是否存在一本必然的“正确答案之书”，而发现它就是数学的目标？

我想，在这一切当中我也有一些个人经历。因为我在基础科学上的努力让我提出了关于许多事物的基础，包括数学。所以我研究过诸如所有可能的数学构成的空間是什么、所有定理构成的网络的极限结构可能是什么，以及尤其重要的是，人类在定义我们称之为数学的这件事中扮演什么角色等问题。

现代 AI 的价值

我们稍后会讨论纯数学的一般性质和价值。但在此之前，让我们先谈谈当下的话题：现代 AI 的角色。

首先要说的是，它无疑是有用的，有时非常有用。对我而言，它在数学探索中最大的用处，实际上是它能够从主题上挖掘人类数学的知识库。从 1970 年代开始，能够对科学文献进行关键词搜索，是我所做的相当一部分研究的关键推动力。而现在，有了现代 AI，人们能做的事情多得多。因为在这些 LLM 内部的某个地方——以一种我们尚未从科学上理解的方式——存在着某种东西，相当于从数百万篇关于数学的论文和书籍中提炼出的原始想法的表征。

而且，在最好的情况下，它不仅仅是检索。它还在于建立联系。能够看出这里的这个结果可以与那里的那个结果结合起来，得出一个令人惊讶且有用的结论。人类也经常这样做。但他们往往只读过数百篇论文；AI 实际上已经读了数百万篇，而且对它们来说，尝试大量可能的组合实际上很便宜。

那么，人们能否指望直接启动一个 AI，就让它带回伟大的数学成果呢？正如我们将讨论的，伟大的数学——比任何其他东西都更——是由它提出的问题来定义的。是的，AI 可以成功地自动化那些人类通常不得不自己完成的事情。但是——正如我们稍后将讨论的——纯数学的核心是引导我们提出什么问题的人类想象力。

值得理解现代 AI 所做之事与纯计算所做之事之间的区别。现代 AI 首先是一种利用现有人类知识语料库的方式。而计算——在其最强大的形态下——是一种开放式的、生成根本且不可约地全新事物的方式。从某条规则或公理出发，反复运行应用它的计算，而我一直以来最喜欢的现象——计算不可约性——保证了你会不断得到新鲜的、新的结果，这些结果除非执行所有这些计算步骤否则无法获得。

（对于还不熟悉它的人，计算不可约性是我在 1980 年代提出的一个概念，用来捕捉这样一种观念：许多计算过程——即便由简单规则定义——也不存在通用的捷径：确定其结果的唯一方式就是显式地运行每一步。事实证明，这是一个相当普遍的现象，存在于可能程序的计算宇宙中——并且与一长串基础性问题相关联，涉及科学的许多领域，以及哲学等等。）

所以，是的，与 AI 无关，计算可以生成无限序列的新定理，代表着无限序列的新事实，等等。而在这些定理中会有各种各样的“原创性”，实际上还有“惊喜”。但有一个问题。这些定理在某种意义上只是“从计算宇宙中摘取的结果”。因此它们当然属于这个新的——而且我认为非常重要的——规则学（ruliology）领域的范畴，我在这个领域投入了大量精力。但它们是数学吗？

数学究竟是什么？

嗯，这当然取决于数学究竟是什么——而这正是我们需要理解的。在其早期历史中，数学被认为是一种对世界作出精确而形式化陈述的方式，比如关于算术或几何的陈述。但到了十九世纪后期，更高的抽象层次已经达到，不再束缚于我们所体验的世界的特征。于是，一种日益形式主义的观点席卷了整个数学界：归根结底，数学实际上不过是可以从某些公理（比如集合论的公理）中“机械地”（即计算地）推导出来的定理的集合。

哥德尔定理给那幅图景造成了一点小缺口。但即便在今天，如果被追问，许多数学家仍会试图把数学定义为对某些选定公理的推论的形式化研究。然而，尽管他们可能会这么说，这并不能很好地描述他们实际所做的工作。绝大多数实际的纯数学研究并不在公理和机械推导的层面上运作。相反，它在高得多的层面上运作，构建并研究抽象结构及其相互关系。

这并不显然应该成为可能。有可能在数学中获得正确答案的唯一方式就是在最低层面上运作，比如直接以公理为出发点。但纯数学有一个本质性的——尽管通常未被言明的——特征：在实践中，人们可以在比如毕达哥拉斯定理的层面上进行推理，而不必不断地深入下去谈论比如实数的公理化定义。我最近论证过，这种情况之所以发生，原因与我们在物理学中能够成功地做流体力学、而不必总是深入下去追踪单个分子的碰撞，大致相同。

归根结底，流体是由所有这些分子构成的。但关键在于，像我们这样的观察者通常只在更具人类尺度的层面上对它进行采样，比如整体的流体运动等等。数学也是如此。人类数学家通常只以整体的、集体的方式，在“人类尺度”的结构和概念层面上，对底层公理推导所构成的庞大元数学网络进行采样。

最终，这个故事在数学和物理学中似乎非常相似。在最底层，一切都充满了计算不可约性，因此人们只能通过机械地执行每一个计算步骤来弄清楚事情。但在这种计算不可约性之中，总是存在计算可约性的小区域，在那里有可能以“更高层次”的方式“跳跃前进”。而正是在这些可约性的小区域中，我们的物理定律——以及我们人类层面的数学——得以存在。

我们可以将物理学——或者实际上整个自然科学——视为一种努力，即从自然世界的复杂性中找出可以用以下方式描述的方面能够被有限人类心智容纳的叙事。数学也可以以非常相似的方式来看待：作为一种努力，从元数学世界的复杂性中找出可以用叙事——现在是数学叙事——来描述的方面，而这些叙事能够被有限人类心智容纳。

换句话说，推进纯数学的问题在某种程度上与其说是推动某个原始的元数学前沿，不如说是找到人类的方式来表征那里存在的东西。

人类数学的历史以建造越来越高的概念之塔为特征——这些概念之塔捕捉着越来越大的抽象。人们可能会认为，这个过程最终会不可避免地“揭示全部数学”。但故事更为复杂。人们可以想象，作为一种终极极限，可以从所有可能的公理系统出发，生成所有可能的定理。以这种方式得到的是一个独特的对象，我称之为the ruliad——它对应于所有可能计算过程的纠缠极限。但问题在于，像我们这样的有限心智只能感知 ruliad 的极小一部分。这意味着我们不可能有“绝对数学”，只有基于我们如何采样 ruliad 的数学。

我曾在别处论证过，这种采样的某些方面不可避免地源于我们作为 ruliad 观察者的方式的一般特征。这导致了某些“数学的一般定律”，比如更高层次的数学是可能的这一事实——至少对于像我们这样的观察者而言。但采样中的其他方面我们可以视为历史偶然：数学界选择探索某个方向而非另一个方向所做的选择。同样重要的是要认识到，做出这样的选择是不可避免的。

从某种意义上说，ruliad 太大了，不可能不是这样：我们有限的头脑无法覆盖所有方向，所以我们只能选择其中一些。然后我们必须用一组有限的概念来总结我们所发现的东西——再从中构建我们的数学叙事。

这非常像人类语言。在所有可能性中，我们选择某些概念来代表，比如用词语。而这些概念就是我们“封装思想”的方式，以便能够以有限的方式交流它们，并能够将它们容纳在我们的头脑中。

在原始的计算层面上，做相当于数学 ruliology 的事情是很直接的，并开始以公理化的方式生成大量前所未见的新定理。但极有可能的是，这只会把我们引向“外星数学”，它无法有用地与我们已知的数学相连接——就此而言，也无法与任何我们能视为更高层次概念的东西相连接。

用 AI 生成数学

但是，好吧，假设我们在使用现代 AI。它难道不能直接操作更高层次的数学概念吗？当然，LLM 能够处理人类语言。而且确实，正如 LLM 成功学会了人类语言中词语组合的一般模式，它们也能学会数学中构造组合的一般模式。

但生成有用的数学比生成语言要严格得多。一个写出来的故事不能真正算“错”；一份写出来的数学则当然可能出错。当然，当 LLM 能够像人类那样调用 Wolfram Language 来可靠地计算事物时，这会有很大帮助。（而且，是的，每个人都应该花几秒钟把他们的 AI 连接到我们的Wolfram MCP 系统！）但一项严肃的数学研究通常涉及将许多部分拼凑在一起，在论证中执行许多步骤等。问题在于，LLM 工作方式的根本统计性质不可避免地使得，随着事情变得越来越复杂，它们正确解决的可能性逐渐降低。而试图找到 LLM 恰好做对事情的案例，可能会变成一种游戏。

但人们又如何能分辨呢？现代的一个令人沮丧的特点是，像我这样的人每天都会收到许多AI 生成的文档它们具有数学论文的“统计纹理”，但人们至少预期它们有极低的概率在意义上是正确的（而且据推测，这些文档大多是由那些自己并不特别懂数学的人制作的，他们只是告诉自己的 AI 为他们“制造数学”）。所以，是的，LLM 实际上可以按照人类级别的数学概念来工作，但带有影响人类思维的同类不确定性和不精确性。

形式化的力量与挑战

但将这些人类级别的构造转化为精确且形式化的东西——更接近公理层面的东西——又如何呢？是的，我参与思考这类事情已有几十年了。最近，自动形式化的想法引起了相当多的兴奋：取“人类级别的数学”，自动将其转化为形式化和公理化的东西，例如可以被证明助手系统验证。乍一听，这似乎是个好主意。但有一个问题。是的，证明助手可能会验证一个证明。但它验证的是你认为它在证明的东西的证明吗？薄弱环节在于确保你的人类级别数学的形式化正确地捕捉了你试图表达的内容。

我已经有过很多次这样的经历了：我尝试对某个东西做自动形式化，AI 会告诉我“我做到了；看，证明通过了！”但实际上，在某种意义上它作弊了：它没有形式化我本意要表达的东西，而是找到了一种（有时非常狡猾的）方式来解释我的要求，从而能够成功地证明它。不过，通常很难看出发生了这种情况——尤其是因为事物的形式化版本（比如用流行的证明助手系统表达的那些）往往非常底层、非常冗长，而且对我们人类来说非常难以理解。

那么能做些什么呢？嗯，我其实认为有一件非常好的事情可以做，它核心基于我们长期以来在 Wolfram Language 中发展出的那一整套思想和技术。我们在 Wolfram Language 上的目标一直是创造一种语言——或者实际上是一种记号——它能够用精确的计算术语来表示我们人类所思考的事物。它不像编程语言那样只是在计算机中表示原始的构造和操作；相反，它基于表示世界中的实际事物，以及我们所思考的实际概念。而且，它不仅仅是一种告诉计算机该做什么的方式；有点像是数学记号的一种巨大泛化，它是一种人们可以阅读、并用来思考的语言。

在过去几年里，一种强大的通用工作流程已经出现：告诉 AI 你想要什么，然后让 AI 编写 Wolfram Language 来精确表示它认为你的意思是什么。如果做得恰当，这种表示应该是你作为人类能够理解的——然后按需检查和修改。

一种用于纯数学的新高级语言

在过去的四十年里，我们稳步扩展 Wolfram Language，使其覆盖了众多领域，包括人们所能想到的当今“应用数学”的大部分内容。而且，Wolfram Language 所做的一切已被证明在纯数学研究中极其有用。但在过去——尽管我们在十多年前的努力——我们一直没能真正证明，专门为纯数学研究构建广泛能力是合理的。但部分得益于 Wolfram Language 平台的普遍进步，部分得益于与 AI 相关的开发经济学的变化，我们正在进行一项大规模工作，将 Wolfram Language 的设计扩展到涵盖纯数学研究的构造，从层（sheaves）到李群（Lie groups）再到 Clifford 代数。

我们的目标是利用我们在计算语言设计方面的方法和长期经验，使纯数学广泛可计算——以一种人类和 AI 都能使用的方式。而且，是的，我们终于可以期待拥有这样的论文，其底层每一个数学陈述都是一个精确且无歧义的计算版本，人们可以系统地在计算上执行和处理。

但我们也将为自动形式化（autoformalization）提供一个真正的目标——实际上是人类数学、AI 和计算的交汇点。所以，假设我们有一个在我们扩展了纯数学的 Wolfram Language 中可理解地形式化的陈述。通常，我们在实践中想要用它做的是从中计算出一个结果。但有时——遵循纯数学的传统——我们只是想抽象地证明它。

自动定理证明

那么我们能自动做到这一点吗？嗯，有自动定理证明，例如，许多类型都内置于 Wolfram Language 中。有时自动定理证明实际上是隐式的（比如，“Solve表明这个多项式没有实根”）。有时（比如使用FindEquationalProof）它可以更显式，用精确——且易于验证——的符号表示来呈现证明中的所有步骤。

人们可能会想象这对纯数学来说会是某种广泛强大的东西。但至少在过去几十年里，它并不是。很大一部分原因是，很难将典型的研究级纯数学分解到足够细粒度的公理层面，使其适用于此类方法。但另一部分原因是——由于计算不可约性和不可判定性的现象——证明可能长得无法企及。

而且我认为可以说，在整个自动定理证明的历史上，实际上只有一个例子可以被合理地视为真正的数学成果——一个此前并不被认为成立、而首次通过自动定理证明发现的成果。那就是我在 2000 年做的一件事——寻找布尔代数的最小公理系统。但这里还有另一个问题：所找到的证明非常长、非常底层，而且非常陌生。而在过去的 26 年里一直无法——无论是用 AI 还是其他方式——找到它的任何人类水平的版本。实际上，就我们所能判断的而言，它就像是元数学宇宙中的一个分支，与现有的人类水平的数学概念毫无关联。

当然，我们可以直接使用该证明的结果——把它当作一种“黑箱式的数学”。但既然我们在数学中的目标是提供人类水平的数学叙事，这就代表了叙事中的一个缺口。

但假设你换一种做法：取一个数学文献中已知的证明，然后以某种方式将其形式化——无论是通过 AI 还是直接由人力完成。如果这是一个复杂的证明，那么这当然是一项成就。而且如果你确信你确实形式化了正确的东西，那么这也是一个很好的检验，说明该证明确实正确。但不应指望由此获得新的理解，或浮现出新的可复用组件。然后还有实际数学内容的问题。是的，一个形式化的结果被确立了——但例如它使用了什么底层公理系统（而且，不，它最终很可能不是像集合论那样熟悉的东西）？

（值得评论的是，形式化的证明本身可以成为研究对象。例如，对于给定定理的许多证明，人们可以开始追问证明空间的几何与拓扑。而对于许多定理的证明，人们可以开始做“经验元数学”来理解它们之间的基本关系。）

数学中的问题求解

正如我们将要讨论的，纯数学中许多最重要的进展都来自新概念和新结构的发明（通常封装在新的定义中）。但在现有概念和现有结构下进行运算，仍有大量工作要做。有时目标是“计算出一个答案”。有时是“找到一个证明”。有时是“找到一个例子或反例”。有时是“弄清楚什么是真的”。在所有这些类型的情况下，都有大量强大的算法计算可以使用（例如在 Wolfram Language 中）来得到结果，而且往往非常直接和迅速。

AI 当然可以使用这类计算（比如通过 Wolfram MCP）。但现代 AI 如何能直接做出贡献呢？人们可以想象直接以“聊天机器人风格”要求它生成结果。而且很多时候，是的，它会给出一个结果。但怎么判断它是否正确呢？有时唯一的办法实际上就是把得到它的整个过程形式化，正如我们上面所讨论的。但有时我们可以直接拿这个结果对它做一次计算，来检查它是否正确。例如，如果 AI 声称解出了一个积分，我们可以直接对它给出的解求导，看看是否得到与 integrand 等价的东西。或者如果 AI 为某个东西想出了一个反例，那么我们可以直接做一次计算来检查它是否真的是一个反例。

我们不太了解内部究竟在发生什么当 LLM 得出一个结果时。但把它想象成一个把从其训练所用的数百万篇数学论文中消化过的片段拼合起来的过程，可能不算一个糟糕的模型。不过归根结底，它所做的事情实际上可能归结为某种在算法上相当简单的东西。AI 的优势在于广度极大。而根据我的经验，相当常见的是，你会发现它想出的东西其实相当简单——甚至显而易见——只要你恰好往正确的地方看。但一旦找到了它，就可以把它实现为一段纯计算（例如在 Wolfram Language 中），不再需要任何 AI 参与。

当人类做数学和解决问题时，这个过程的一个重要部分往往是直觉的运用。但直觉到底是什么？在某种程度上，它似乎是一种“我知道这将会怎样发展”的程序性模式匹配。而——说到直觉——我的直觉是，至少在其基本形式上，这并非 LLM 从根本上无法企及的能力。

但挑战之一在于，即使要解决一个用现有数学概念表述的问题，也常常需要“跳出系统”并发明新概念——一个经典的例子就是，为了求三次方程的实数解而需要复数。在某种程度上，这又是计算不可约性的另一种体现，以及它如何限制任何给定的计算可约性区域。但它的效果是，它迫使看似“纯粹的问题求解”实际上常常涉及新概念和新结构的发明。

开放式数学

那么，对于可以被称为开放式数学的东西呢？在规则学中，非常常见的做法就是走进计算宇宙并“寻找有趣的东西”。在数学中，这传统上并不常见。当然，原则上人们肯定可以想象，比如说，基于某组公理系统地枚举可能的定理，然后问：其中哪些是“有趣的”？在操作层面上，人们可能会问：“如果一个人在写一本书或一篇论文，他会提到这些定理中的哪些？”

多年前，我研究了布尔代数可能定理的非常简单的案例，并从经验中发现存在一个标准来判断其中哪些通常在逻辑教科书中被赋予名称：基本上就是那些无法从按字典序排列的可能定理列表中更早的定理证明出来的定理——或者，在某种意义上，就是那些“给出新信息”的最简单的定理。

在更复杂的情况下，人们可以想象，一个在数百万个被人选择发表在数学文献中的定理示例上训练过的 AI，或许能够捕捉人类对有趣性的判断标准但根据我的经验，这实际上并不奏效。我认为原因在于，除了最简单的情况外，有趣性并不是可以逐条定理来确定的：它需要人们描绘出某个数学领域整个历史发展过程。然后，是的，人们可以问，那个发展弧线中哪些方面在某种意义上是不可避免的，哪些只是历史偶然。

我问过一个有点类似的问题最近关于生物演化。而在那种情况下，我发现确实似乎存在一些（根本上是计算性的）一般原则。例如，按照计算上受限的适应度函数进行的适应性演化，似乎相当普遍地会导致模块化结构（类似于细胞器、器官等）的出现。那些结构并不“自带对其是什么的解释”。但它们实际上代表了“计算可约性的原始口袋”。

在纯数学的发展中，有一件事显然至关重要，那就是对新结构和概念的识别。历史上，这样的结构和概念一直是由人类引入的，并且实际上“自带解释”。但人们能否想象，例如由 AI 自动发现的新结构和概念？然后人们能否用这些来构建新的数学？

新的数学概念

这两个问题结果有些相互独立。至少在简单层面上，在神经网络中识别出某些激活模式是相当直接的（比如通过查看自编码器），这些模式可以被视为概括了计算可约性的口袋，或者实际上“代表了新概念”。但就数学是为我们定义数学叙事而言，这并不能立即有所帮助。

是的，AI 实际上可以识别出无数的新概念。但我们人类的心智只能处理其中有限的数量这非常像自然语言的情况。我们可以想象一个 AI 观察人类话语的模式，并想出无数个可以用来概括这些模式的新词。但我们人类似乎只能知道有限数量的不同单词（通常是几万个）。

那么数学中又如何呢？原则上，AI 可以想出无数个新数学概念的定义。但由它们构建出的东西，不可避免地会显得和某种从原始公理层面的数学出发、以“规则学”方式构建出的东西一样陌生。这些构建模块可能更“接近人类层次”。但它们对我们人类来说并不熟悉，因此我们无法轻易地用它们来思考。

当然，人类语言中会引入新词，数学中也会引入新概念。但这是一个渐进的过程，在实践中往往涉及某种“社会共识”。（事实上，在设计 Wolfram Language 的过程中，在过去四十年里，我一直相当明确地限制新概念的引入速度，以确保人们能够跟上。）

数学的目标

但是，好吧，确实存在许多可能的新概念和新结构——它们都对应着计算可归约性的某些角落——它们“存在于元数学宇宙之中”。但在发展适合我们人类的数学时，我们只能追求其中极小的一部分。

换句话说，数学的发展不可避免地必须对前进方向做出选择。它无法有意义地“追求所有可能性”。它必须有明确的目标。

但纯数学的目标从何而来？在技术发展中，目标往往直接由人们认为有用的东西来设定。在自然科学中，则由人们观察到并有工具去解释的自然界中的东西来设定。但在纯数学中，起初似乎并没有这样明显的“外部”方式来定义目标——这使得已经完成的数学看起来更多地是由数学界及其领袖的内部选择所决定的。

但实际上，如果审视人类数学的历史轨迹，至少可以看到一些明确的趋势。数学的旅程始于对数字和空间等事物的基本形式化，这些形式化在某种程度上反映了人类对世界的日常感知。尽管大约一个世纪前，数学似乎试图“推广到所有可能性”，但过去一个世纪中大多数最强劲的数学发展轨迹实际上更贴近人类能够直观理解和想象的范围。

在数学中往哪里走仍然有大量的自由。但要对人类有意义，我们必须在某种程度上对所做的任何选择有一定的熟悉感。是的，AI 可以随机选择一个方向，或许基于观察到的人类现有选择的统计数据来做出选择。但那样的话，人类就没有理由关心它；它不是与我们对数学的实际经验相关的东西。

在更实际的层面上，做数学的一部分是关于弄清楚如何实现已经设定的目标——这是我们可以想象 AI 去做的事情。但最终更重要的是目标的设定本身。而且几乎从定义上来说，这些目标必须来自“系统之外”。或者，特别是来自我们。

一个值得注意的观察是，迄今为止 AI 在数学领域最重大的成功报告往往来自一些最熟练的人类数学家。从某种意义上说，我们不应该感到惊讶——因为目标的设定（或者说，实际上知道该问什么问题）才是最重要和独特的部分。事实上，往往一旦真正知道了该问的问题，就已经完成了回答它的大部分工作。

但纯数学在实践中的目标究竟从何而来？通常有两个基本来源。一个是所谓的解决问题；另一个是所谓的创造性构建。解决问题在某种意义上是更刻板、可衡量、且更适合 AI 的。拿一个过去已经定义、并被研究了一段时间的问题。然后目标就是解决它。如果成功了，就有明确的方式说明自己做了什么（“一个 Erdős 问题被解决了！”，等等），即便这有时看起来更像是一种体育成就，其最终的智识内容充其量也是模糊的。

数学的美学

但还有一种是人们可能称之为“创造性构建”的东西：为数学提出新的结构和新的概念。在某种终极的元数学层面上，这些结构和概念必定已经“在那里”，作为计算可约性的一个个口袋。于是人们可以把目标看作是指认出特定的那些，并把它们带入人们谈论数学时所使用的“词汇表”中。

但在所有可能性中，人们想要哪些呢？人们可以想象各种标准。但大多归结为想要创造出最能统一、概括并简化彼此迥异之物的抽象。这样说来，人们可能会认为这会是一个可以自动化的目标，比如由 AI 来完成。但有一个关键的波折。人们可能会想象，可以把某个东西定义为“更简单”，如果它陈述起来更短的话。但某个东西陈述起来有多长，取决于它被陈述时所使用的语言。所以同样没有什么直接绝对的东西；它不可避免地依赖于一整段相互关联的选择的历史。

人们常常把这些选择描述为审美选择。是什么让一个结构更优雅、更完美等等？归根结底，这些都是植根于人类偏好和人类经验的东西，并由可以描述为人类主动性的东西所延展。但真的需要一个人来做出这些选择吗？或者，能不能只用某种在现有的人类选择上训练过的生成式 AI 来代替？问题在于，要想有用地为数学创造新的构建模块，需要的不仅仅是发明新概念和新结构；它们还必须被编织进数学文化的肌理之中。

这就像在人类语言中引入一个新词。要让这个词有用，它的含义必须被足够广泛地知晓，以至于它能常规地代表某个特定概念。而传播这一含义，在某种程度上不可避免地是一个社会过程。数学中的新概念和新结构也是如此。只要数学是为人类心智发展数学叙事，概念和结构就必须被共享，才能有用地被当作构建模块来使用。这有点像是典型自动化证明中的问题。如果人们能说某一步来自“X 的定理”，那就提供了一种概念上的锚点。但如果每一步在某种意义上都是量身定制的，最终得到的东西实际上就会显得很异类。

那么，这让 AI 在数学中处于什么位置？这类似于 AI 在许多其他领域中的处境。恰当地定义一个目标，AI 就能非常有帮助。没有目标，它就不知道往哪里走。以规则学的方式探索各种可能性——实际上就是做实验数学——可以带来许多令人惊讶的新结果。但从某种意义上说，它们“天生就是异类”，并不立即与我们通常所认为的数学相连接。

为什么要做纯数学？

但是，好吧，所以 AI 可以帮助扩展我们称之为纯数学的事业。但它仍然不可避免地需要人类的努力和人类的主动性。那为什么要做这件事呢？

一个常见的论点是，它最终会对某些“实用”的东西有用。通常的观点是，纯数学以某种方式设法铺设了某些“灯塔”，科学和技术最终会抵达那里。但我认为真实的情况恰恰相反。我们创造的数学提供了思考方式。而正是当我们拥有这些思考方式时，我们最终才会创造出利用它们的科学和技术。并不是数学中所做的东西与科学中所发现的东西之间存在某种趋同。而是我们所知道的数学引导着我们在科学中最终去寻找什么。

有时有一种观念认为，我们在科学中发现的东西在某种意义上是独特且不可避免的。但从 ruliad 的角度来思考，我们意识到实际上存在无限多个不同的计算可约性切片，每一个实际上都定义了它们各自对科学的理解。历史上一次又一次似乎发生的情况是，首先发展出一个概念框架——通常来自数学——然后才变得清楚，存在一个可以观察的相关规律性，它指明了通往某块科学的道路。换句话说，这并不是纯数学与科学之间的某种神秘趋同；而是科学之所以被发展出来，是因为纯数学已经存在。

在某种意义上，这让纯数学的事业显得不那么具有推测性。并不是我们在做一块纯数学，希望有一天会找到它的应用。相反，是做这块纯数学发展出一种思考方式（并且实际上揭示出一个计算可约性的口袋），从而让人有机会想出那个应用。

一块纯数学会不会最终被证明是“根本无用的”？在某种意义上，答案是否定的。因为任何时候只要有一块纯数学被成功地做出来，它必定对应于某个计算可约性的口袋。而任何计算可约性的口袋都会与某些规律性相关联，这些规律性不可避免地是某种形式的科学和某种形式的技术的“原材料”。

不过，问题在于那些可能是非常异星形式的科学与技术，远超出我们迄今所考虑的任何东西。并不是说数学无法给我们带来科学与技术；只是科学与技术发展的弧线可能尚未到达我们在意它所给予之物的那个点。

早在古代，数学对我们思维方式的一大贡献就是演绎推理这一理念。到了更近的时代，又出现了大量关于连续性、实数等的理念。然后，大约一个多世纪前，出现了抽象函数的理念，接着是计算的概念。一旦达到，这一理念似乎几乎是显而易见的。但从历史上看，要达到它需要一座高得惊人的抽象数学思想之塔。而且，没错，计算的一般概念具有极大的实际重要性。但是——正如我在数十年间所探索的那样——它对于我们思考事物的一般方式也是基础性的。

纯数学的一个显著特征在于，它涉及某种结构化的思维方式，而这种思维方式长期以来一直被视为教育中的重要内容。在某些方面，我认为计算——尤其是计算语言，以其描述世界的方式——为学习结构化思维提供了一种强有力的替代方案。但对计算的基础性研究远比数学年轻，也更容易直接受到计算不可约性的限制。其结果是，现代纯数学发展出了一座高得多的结构化思维与形式化之塔——事实上，它的塔比任何其他领域都要高。

学习那座塔是一项巨大的投入。很少有人能做到。做到的人有着各种各样的动机。对一些人来说，这是挑战的问题。对另一些人来说，更多是“从塔上眺望的风景”的问题。在某些方面，AI 所提供的自动化让这种挑战变得不那么有吸引力——尽管，就像国际象棋之类的事情一样，纯粹的人类成就中仍然可以有满足感。但说到风景，满足感在于人类的审美体验，而这与自动化和 AI 完全无关。

五百年前，数学挑战被当作观赏性运动来举办。如今，数学的挑战性一面已不再那么成功地吸引公众兴趣。事实上，做数学的过程通常根本不向公众展示，除了通过诸如基于个性的电影之类的少数途径。

（而且，是的，人们可能会想，做数学是否有可能提供某种形式的公共娱乐。我可以报告，我自己就做过相当多成功的现场数学计算机实验。而在疫情期间，我直播了大量小时关于数学物理的高度技术性工作会话——这些获得了出乎意料的观看量。）

那么，数学作为一种本质上审美的活动呢？是的，对于正在做数学的人来说，它是充实且丰富的。但整个社会从中得到了什么？正如一小部分艺术是公共艺术一样，人们可能会想，是否可能存在公共数学。偶尔会有公共的视觉或雕塑数学，或者体现数学的建筑或音乐。但现实地说，这并不是纯数学塔尖层面的数学。

关于纯数学的高层，有一点需要理解：它在惊人程度上是作为口头传统和人际连接链条传承下来的。也许这部分是学术界和学术出版结构的结果。但事实仍然是，要维持纯数学的火焰，似乎需要一群不断积极追求它、并讨论如何做数学的人。换句话说，即使他们的个人动机相当内在，他们的集体努力具有长期的外部价值，即让纯数学的进步得以继续。

有人可能会问，纯数学是否会在某个时刻以某种方式“完成”。对此我们可以明确地回答：它不会。计算不可约性确保了总会有无穷无尽的数学事实——以及惊喜——有待发现。而且也会有无数个计算可约性的角落，代表着新的数学概念和结构。

纯数学是我们文明所建造的单一最庞大的智力大厦。而从中诞生了人类思想史上一些最具影响力的观念——比如形式化、抽象和计算。在现代，纯数学有一些加速器。实用计算是其中之一。AI 是另一个。以 ruliology 风格的实验数学则是又一个，仍相当不发达。而我想，我们正在构建的纯数学语言——尤其是与 AI 结合时——将会是又一个。

纯数学的工作漫长而艰难（是的，这是计算不可约性的一个后果）。但在数千年的历程中，它对我们文明核心智力发展的重要性一直非常巨大。毫无疑问，它还有更多可以奉献。而且即便今天的问题早已被遗忘，纯数学仍将继续闪耀，作为人类成就的灯塔。所以，是的，有充分理由期待一个光明的未来——如今还有来自 AI 的一些额外帮助——对于人类最精粹的追求：纯数学研究。